「無限」に魅入られた天才数学者たち：最終回：疑問と分出公理

この本の４１ページからの記述にちょっと疑問な点がありました。

Ｐ４１、最終段落の記述。
「カバラの少なからぬ部分は、聖なる神の名であるテトラグラマトンの置換にかかわっている。
ヘブライ語の神名ＹＨＶＨは、何通りの並べ替えが出来るだろうか？」

それでこの本は１０通りになっており、
だから１０という数は重要なのだ、と述べていますが、
これはＹＨＶＨのＹ、Ｈ、Ｖ３種類の文字を４通りに並べ替えるので、
簡単な順列組み合わせの公式から４！/２！
（！は階乗という意味、４！は４×３×２×１のこと）＝１２通りになります。

これがこれだけの記述で終われば「重箱の隅」で終わらせても良いのですが、
以下カバラの階層、１０のセフィロトについて説明の土台になっているのでちょっと疑問に感じました。
ＹＨＶＨの並べ替えも１０通り記されていますが、記されている中でＹＨＨＶとＶＨＨＹの２つが抜けています。
この二つを加えればちゃんと１２通りになります。
？と思いました。
著者も訳者も数学の専門家ですので、
私の勘違いだと思うのですが、どう間違ったのでしょうか。

それから憶えておきたい「分出公理」
：ラッセルのパラドックスの原因となる公理、について。
「あらゆる集合Ａと集合を変数とするあらゆる条件Ｓ（ｘ）にたいし、一つの集合Ｂが存在し、Ｂの要素はＳ（ｘ）が成り立つようなＡの要素ｘである」

もしＳ（ｘ）が「ｘはｘの要素ではない」という条件だとすると、Ｂ＝{Ａに含まれるｘであって、
ｘに含まれないようなもの}となる。この時、ＢはＢの要素だろうか？
もしもそうなら、ＢはＢの要素でない。そうでないなら（つまりＢがＢの要素でないなら）、ＢはＢの要素である。
したがってＢはＡには含まれない。
すべてを含むものはないとなる。

次回、読本としてアンドレ・ブルトンの「魔術的芸術」を読もうと思っていましたが、
「アートの歴史、１口暗記シリーズ」がもうすぐ終わるので、「魔術的芸術」はアートカテゴリーでやって、
読本は「素数に憑かれたち人たち：リーマン予想への挑戦」の本をまとめていくことにします。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：１２

「コーヒーが不味かった」
これが戦火による封鎖寸前のヨーロッパからアメリカに渡ってきたゲーデルの感想です。
プリンストン高等研究所に勤務するゲーデルは、アインシュタインと友人になります。
ユーモラスで人付き合いの良いアインシュタインと、暗い性格のゲーデルは案外話しが合ったようです。
精神病の病歴のあるゲーデルは、本来アメリカ市民権は取れませんが、特例で審査が行われます。
しかし厳密にアメリカ憲法を読込んだゲーデルは、憲法に論理的欠陥を発見し審査官に訴えるという所業をしますが、アインシュタインを始め周囲の必死のとりなしでなんとか乗り切ります。

１９６３年、スタンフォード大学のポール・コーエンが「強制法」を独創します。
強制法とは、仮説の集合が、二つのうち一つの値を取るよう強制する方法です。
はじめに集合の集まりと、それらの集合に適用される論理規定を設定し、その論理規則が適用できるようにしつつ、その集合の集まりをどんどん大きくしてゆます。その大きくなった論理系の内部で仮説を操作するとこにより、連続体仮説は集合論の公理系（ＺＦ＋選択公理）とは完全に独立であることを証明しました。
現在の公理系の内部では、連続体仮説は証明も反証も出来ないということが示され、
結果は謎のまま残されたのです。

ただコエーンとゲーデルは連続体は非常に；リッチ；な集合なので、
その濃度（つまり基数）がアレフ１だとは考えにくいと思っていたようです。

ここまでで明らかになったことをまとめると、
１）有限な数から出発する限りいかなる数学的操作（加法、乗法、指数演算）をもってしても最初の無限指数Ｘ０に到達できない。
２）ただ一端最初の無限基数Ｘ０に到達すれば指数演算によってより高次の無限基数を作ることが出来る（任意の集合に対するべき集合は、もとの集合よりも大きな基数を持ち２＾Ｘ１はＸ１から作られたより高次の基数になるからです）

ここで巨大基数の集合論というものが登場します。
これはゲーデルの発案した集合論で、証明はされていませんが「存在すべし」と考えられているという概念です。それによると、到達不可能な無限基数はＸ０だけではなく、広大な無限基数の中には小さな無限から決して到達できないさらに大きな無限基数があり、それはあまりに大きい為、指数演算をはじめ、どんな演算でも到達不可能ではないかと研究されています。

そんな研究から生まれた成果が、
シューラーの定理です。
それは
２＾Ｘｎ＜Ｘωならば２＾Ｘω＜Ｘω４である。
２の肩に整数のサブスクリプトをもつアレフを乗せたものがアレフーオメガ（最初の超限順序数オメガを添え字にもつアレフ）より小さいとき、２の肩にアレフーオメガを乗せたものが４番目の不可算数をサブスクリプトに持つものより小さくならなければならない、というとです。
これほど入り組んだ無限の階層に、４というサブスクリプトが現れる必然性は未だ誰も知りません。

さて
集合論は無限を分解し、階層つけました。
ではそもそも数は実在するのでしょうか？
数は一種の言語で、実世界での問題を対処する約束事だとするなら、
数を作り出した我々は数のすべてを知らなければなりませんが、そうはなっていません。
カントールは「数は内主観的かつ内在的な実在性を持つ」と述べています。

では連続体は存在するのでしょうか？
現代物理学の語るところでは、この宇宙にはプランク時間、プランク距離が存在し、
究極的には離散的とされています。
では何故、物理的世界で数学はこれほど有効なのでしょう？
果てしない謎を残してこの本は終わります。

次回、この本にあった疑問と、集合論のまとめておきたい知識を書いてやっと終りです。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：１１

ゲーデルはウィーン大学に進学し６つ年上の踊り子アデーレ（離婚経験者）と結婚します。
そして有名な不完全性定理を導きます。そのエッセンスは
「任意の系が与えられたとき、その系の内部では証明できない命題が常に存在する」です。
有限な宇宙の内部にある人の心では、そのシステムを越えて広がる大きな実体を捉えることは出来ない、
と言い換えても良いでしょう。

またこれは、いかなる有限系の内部にも認知することも証明すること出来ない実体が存在し、
それを把握したければより大きな系に移らなければならない。
ところがより大きな系に進めば、またそこで認知も証明も出来ない実体に出会う。
今いる系の外側にあるもの、与えられた系よりも大きなものが常に存在する、という証明なのです。

神は人より高次の系であり、有限なる人間の心には神を理解することは出来ない、という結論が導かれます。

ゲーデルの定理は「決定不能命題の存在」を示し、そうなると公理という基本原理から論理規則を使うことにより定理、補題、系を積み上げる数学は数論、代数学、解析学など、どれほど注意深く構築したとしてもその系は不完全であり、内部には決定不能命題を含む、ということになります。

これほど重大な仕事を為し得る一方、ゲーデルは１９３０年代の慄然たるオーストリアに住みながら、
勃興するナチスの恐怖と広がる戦火にまったく無頓着で、オーストリアが併合されても生活が貧窮しても暴力が差し迫っても無関心でした。
そして連続体仮説に取り組み始めると「悪い空気」に侵され始めます。
精神の病が始まったのです。食事を採らなくなり衰弱していく過程はカントールの辿った道とそっくりでした。
それでも鬱病に悩まされながら再び大きな仕事をします。

１９３７年に連続体仮説が集合論の公理系と矛盾しないことを証明するのです。
ZF集合論の公理系が無矛盾なら、選択公理と連続体仮説を付加しても無矛盾である、ということです。

さらに試みたのは、
ＺＦ集合論の公理系が無矛盾なら、選択公理と連続体仮説の否定を付け加えても無矛盾、ということです。
これが証明されれば（ＺＦ集合論＋選択公理）と連続体仮説の独立性が証明されます。
（集合論の公理系（ＺＦ）というのは集合論を公理化したツェルメロとフランケルという人の名前から取られたものです）

あと２２ページ。最後にこの本にあった簡単な疑問も書きます。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：１０

クレタ人、エピメデスは言った「私は嘘をついている」
この命題が真ならば、エピメデスは嘘をついていないことになり、命題は偽となります。
この命題が偽なら、エピメデスは嘘をついていることになり、命題は真となります。
以上２つともに命題が偽であり真であることになり、これは矛盾です。

バートランド・ラッセル：１９５０年ノーベル文学賞者
「プリンキピア・マセマティカ」１９１０－１３年、数学を公理的体系から再構築した本。
そこで提起された集合論の矛盾を簡単な例で説明すると
セヴィリアの理髪師の例えがあります。それは

命題：セリヴィアの理髪師は、自分で髭をそれないセヴィリアの男全員の髭を剃る。
１）理髪師が自分で髭を剃ったら、自分で剃れる男の髭を剃ったことになる。矛盾です。
２）理髪師が剃らないなら自分で剃らなければならず、理髪師は自分で剃ることの出来ない男のはずです。
これは「グレリングのパラドックス」：１つの述語はそれ自体正しいこともあり正しくないこともある、ということです。「この文は正しくない」←これが最良の例です。

さて集合論の基本矛盾とは
自分自身を要素として含まないすべての集合からなる集合をＲとしたとき、Ｒはそれ自身の要素だろうか？
ということです。
もし集合Ｒがそれ自身の要素ならＲはＲという集合ではなくなります。またＲがそれ自身の要素でないなら、Ｒはすべてを含むはずだからＲ自身も集合の要素でなければならないでしょう。
これは公理系の、任意の性質が与えられればその性質をもつものを要素とする集合が存在する、という
第五公理、分出公理を否定するものでした。

結局このラッセルの提示したことは、
すべてを含む集合は存在しない、ということです。
どんなに大きな集合を考えても、そのべき集合を作れば必ずそれより大きな集合になるからです。
したがって最大の基数は存在せず、我々は絶対者には決して到達できない、ということになります。

この絶対者を神を同一視したカントールは
「私これまで実無限の最高類より先に出たことはありません。
実無限の最高類は絶対に存在しないことを証明したのです。
有限も超限も越えたものは（類）ではありません。
それは唯一の比類なき統一体であり人間の頭で理解出来るものではなく、
それこそがアクトゥス・プリッシムス（純粋現実態）であり、多くの人が神と呼ぶものです」
神の絶対性は人間の心には捉えられず、出来ることは実無限を理解しようと試みるのみ。
この結論を抱いてカントールは衰弱死（心不全）します。

数学の基礎を支える集合論に矛盾がみつかり大きな問題になりました。

これに挑戦する第２の主人公がクルト・ゲーデル、１９０６年にチェコで生まれます。
彼はボヘミアの保養地マリンエバートで数学者、論理学者になる決意を固めます。
これで１７章、あと３６ページです。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：９

連続体仮説の証明に行き詰まった、カントールは引き篭もり、
大学は病休、突然シェークスピアの研究を始めます。数学ではなくシェークスピアです。
証明しようとしたのは、シェークスピア＝フランシス・ベーコン説。
勿論こんな説はありませんが、カントールはあらゆる文献を漁り研究します。

同時に１９００年、パリで開かれた第２回国際数学者会議でヒルベルトは、
数学上の最重要な「１０の問題」のトップにカントールの連続体仮説を取り上げます。
異端視されていた研究は輝かしい重要性を持つことになりました。

選択公理
連続体仮説を証明する為には、超限数同士を順序つける必要がありました。

アレフ基数のＸ０、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３・・を順序付け、連続体の基数ｃが＝Ｘ１であること、
最後はヘブライ語のアルファベットの最後の文字τ（タウ、ヘブライ語に変換できない）を当て、
すべての無限基数を系列τのどこかに位置することを証明することです。

まず無限基数が数直線上の実数と同じ法則に従い、任意の２つの基数が順序つけられることが大切です。
この性質を超限基数に持たせるよう考えられたのが、整列原理「すべての集合は整列させられる」です。
すでに無限は集合論の中で考えられてます。無限集合同士をどう並べるのか？
ここで登場するのがツェルメロです。

ツェルメロの証明
与えられた集合の、空集合でない部分集合のすべてに：代表点：を付けます。
代表点はその部分集合の要素から選ばれた一点です。

その一要素を選ぶのが：選択公理：です。
いかなる集合Ａに対しても選択関数ｆがひとつ存在し、
Ａの空でない部分集合Ｂに対してｆ（Ｂ）はＢの要素となるように出来る。

選択関数は、各集合Ｂに一つの要素を選択する。
ところが、この選択公理は、要素有限の世界ならよかったのですが、
無限の要素を想定すると、無限回の選択を行うことになり、
「証明方法は有限のステップで終わらなければならない」、という数学の前提から外れてしまします。
数学は基礎となる公理の上に構築され、その先は論理規則を使いながら命題や定理が証明されますが、
その回数は有限でなければ（無限に論理を積み重ね終わりがなければ）証明になりません。

こうして連続体仮説を証明する選択公理に疑問が起り、その選択公理が証明する整列原理が怪しくなりました。
順序という性質を抜きにして数を捉える理論的方法はなく、連続体仮説は整列原理に依存します。
：連続体仮説：（必要条件）→：整列原理：（等価）＝：選択公理：
こうなる訳です。
これで１５章まで。あと５０ページだよ。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：８

仮に集合{１，２，３}があった時、そのすべての部分集合を：べき集合：と呼びます。
この場合、べき集合は、
空集合{Φ}、{１}、{２}、{３}、{１，２}、{１，３}、{２，３}、{１，２，３}
となります。
３つの要素からなる集合のべき集合は８つで、それを求めるには２＾３＝８となります。
べき集合には、元集合の各要素は、
どれかの部分集合に入るか、入らないか二つのうちの一つです。
そしてこれは元の集合とべき集合の間に、１対１対応ができないことをしめしてます。

この考えを要素無限の集合に当てはめてみましょう。

有理数は一番小さい無限Ｘ０（アレフ０）でしたね。
実数は、有理数にない無理数（一部、超越数）を含み、１ランク上の無限濃度を持つＸ１（アレフ１）であり、
数直線という連続体を形成します。
連続体の基数をｃとしましょう。
そこで要素無限の集合、０－１間の有理数の一つを仮に
０．abcd・・・と表わします。
abcd・・・の桁数を無限にして、かつabcd・・・に任意の数字を当て嵌めればどんな数字も出来ますね。
そして各abcd・・に１から９までのどの数も当てはまるか当てはまらないかのどちらかですが、
連続体上の数はどれもみな０から９までの数を無限に組み合わせれば表現できます。
これで
ｃ＝２＾Ｘ０
：連続体ｃは有理数集合の、べき集合である、となります。

アレフ０のべき集合を作ったら、一つ高次の無限、連続体を形成するＸ１（アレフ１）ができました。
２＾Ｘｏ＝Ｘ１です。
この式の命題は；連続体仮説；と呼ばれます。
では今度は連続体ｃのべき集合を作れば新たなｄが出来て、ｄ＝２＾ｃとなるのでしょうか？

さらにこれを一般化して
２＾Ｘα＝Ｘ＾α＋１、なのでしょうか？
：これは；一般連続体仮説；と呼ばれます。

アレフＸ＊Ｘ＝Ｘでしたから、２＾Ｘ０＝Ｘ１は正しいように思えますが、数学はしばしば直感を裏切ります。
一つの集合のべき集合を創れば常により高次の無限になるのか？
その間に別のアレフは存在するのか？しないのか？

カントールはこの証明に苦しみ精神を病みますが、
死後、この命題は現在の数学体系では証明も反証も出来ない；決定不能命題；であることがあきらかになります。

無限という神の秘密の園に入り、正気を失った古代のラビたちと同じ運命がそこにありました。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：７

無限に関する研究を続けるカントールをクロネッカーは執拗に妨害し、個人攻撃を始めます。
同時に実無限という考えに取り付かれたカントールは、精神病の発作を起こします

googol（あの検索エンジンは、ここから取られたのでしょうね）
：子供の考えた宇宙で１番大きな数。１０００…０．１の後ろに０が百個並びます。
１０＾googolをグーゴル・コンプレックスと呼びます。
でもこれは１００＾googol,1000^googol…きりがなく続き、
それでも最後に「最大の数」に１を加えればもっと大きな数になります。

アウグスティヌスは「神の国」で以下のように無限と神について記述します。
「神の知恵は計り知れず、それゆえ神はすべての数をご存知である。
無限に続く数は計り知れないけれども、その無限性は神の知の及ばぬものではない」

しかしカントールは果てしなく続く数の不安に打ち勝ち、心理的な壁を越えます。
そして；超限数；という定義を考えます。「有限を越えた数」のことです。

次に考えたことは、
「すべての有限数より大きな数の中で、１番小さいもの」があるはずだ、ということです。
それをω（ｵﾒｶﾞ）としました。：あらゆる有限数より大きく、超限数では１番小さい数：です。
オメガはギリシャ語のアルファベットの最後の文字です。
するとω＋１、ω＋２、・・、２ω・・、ω＾２・・、ω＾ω
と無限に多くの無限を作り出せることになります。

こうなると無限の理論を作り上げる為に、新たな表記が必要になります。
そこでカントールは無限集合の：基数：（１番小さい無限、整数の無限）をヘブライ語の最初の文字、
Ｘ０：アレフ・ゼロ（ヘブライ語のアレフへの変換が出来ないので形の似たＸを使います）と名づけました。
ここで前半のヘブライ→ユダヤ神秘主義とのつながりがあったのです。

さらにカントールは、無限の算術法則を発見しました。
Ｘ０＋１＝Ｘ０（整数全体の無限に１を足しても、より高い無限の階層にならない）
Ｘ０＋ｎ＝Ｘ０（整数に任意のどんな数か足しても、１対１対応は出来るので同じ無限）
Ｘ０＋Ｘ０＝Ｘ０（全整数に全分数を加えて全有理数になっても同じ階層の無限）
Ｘ０＊ｎ＝Ｘ０（ｎを任意の数として何を掛けても無限の階層は同じ）
Ｘ０＊Ｘ０＝Ｘ０（よって加算無限に加算無限を掛けても無限の階層は同じ）

直感に反する無限の算術をカントールは完成させました。
これでこの本の１２章までです。
次章は「連続体仮説」　　この本の山場です。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：６

第９章（←この本の９章のことです）、無限の階層
最も低い階層：自然数の無限。数は無限だが数えることは出来る。
数えきることは出来なくても数えられるというプロセスがある→可算無限
有理数も可算無限であること。
有理数はどこまでも細かく分解でき（０．００・・１）稠密であり、
自然数は１づつ離れているから両者が同じというのは理屈に合わない感じがしますが、
無限の階層という分類では同じになります。
ようは１対１の対応が出来て、かつお互いに限りがないので同じ扱い、ということです。

実数（有理数と無理数を合わせたもの）の無限
無理数には超越数という不可算性のある数が含まれるから、より高次の無限になります。

「実数とは単に数を数珠繋ぎにしたようなものではなく、そのには何かもっと深い連続性が存在する」
たった０から１までの中の数にも、単に０．０００・・１という数が積み重なっている訳ではなく、
そこには未だ捉え切れない数（超越数）が無限に眠っているという深遠・・
実数は無限であり、かつ不可算集合集合なので、より高次の無限（高い濃度の無限）なのです。
これを証明した方法を対角線論法といいます。リンク先を見てね。

１０章、次元の概念を越える無限の不思議
デカルトは解析幾何学：幾何学的な図形を数によって表わす：を創始します。
それは、X軸、Y軸の数値で特定の場所を表わすいわゆる、「グラフ」のことです。

そこでカントールが発見したのは、１次元の「直線」と２次元の「平面」は同じ無限であるということです。
グラフ上で直線を表わすには、X軸を０と１に取り、Y軸は０のままです。
これでX軸にべったりくっつく直線の出来上がり。

平面は、（X軸＝０、Y軸＝０）（X軸＝１、Y軸＝０）（X軸＝０、Y軸＝１）（X軸＝１、Y軸＝１）
この４点で座標の中に正方形が描けます。結局X軸Y軸に取る点ですね。
ここで直線０－１までのX軸上の数を、仮に０．２３４１６５７・・という数を当てはめ、
さらに一般化して０．a1b1a2b2a3b3…とします。ちなみにY座標はずっと０です。
一方、正方形もXY座標で表わせますから、
X座標＝０．a1a2a3．．．Y座標＝０.b1b2b3．．．としていきますと、
直線は０．a１b1a２b2a3b3…,平面もXとYの座標を交互に並べて合成すれば、
０．a１b1a２b2a3b3…となり、小数点以下無限という原則が効いてどこまでも１対１に対応が出来て平面上の「点」は、どれもみな線分上の点に対応できるのです。
さらにこれは直線上で無限に小数点以下を分割できるので、Z軸も使った立方体にも、
さらに４つの次元を持つものにも、さらにそれ以上の無限にまでどこまでも対応可能ですね。

無限に関する限り次元には意味がない。
これを発見したカントールが「我見るも、信ぜず」という言葉を残すことになります。

ｐｓ
図形やグラフが書けないので分かりにくいと思いますが、この章で述べられている、次元と無限の話は、
直線はどこまでも細かく分割出来るので無限個の要素を持つ集合になり、
なれば直線より上の次元を持つ平面、立体、それ以上の空間にも１対１対応可能となり、
無限に関する限り次元に意味はない、という結論が導かれているのだと思います。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：５

エピソード篇
大学を卒業し結婚もしたカントールですが、地位は２流大学の研究者でした。
給料も安く、優秀な研究者はみんなベルリンに集まっており、研究環境という点でも不満足なものでした。

そんな不遇なカントールを苛めるのが、当時の数学会の大御所のクロネッカー。
カントールが送る画期的な論文の掲載を徹底して拒否し続け、カントールは精神的にも追い込まれていきます。
そんな苦境を救ったのがレフラー、デデキント、ワイエルシュトラスです。
なぜこのような構図になったかといえば、クロネッカーには「神は整数のみをお作りになった。他はすべて人の業である」という宗教的な心情があり、カントールの無限を追い求める姿勢には強い反発を感じていたのです。

数学篇
ワイエルシュトラスのアイデア：無理数は有理数列の極限として定義する。

これを説明するのが
：デデキントの切断：有名な言葉なので憶えてください。
例をあげます。
無理数√２を考える時、二乗が２より大きくなる極限の有理数と、
二乗が２より小さくなる極限の有理数で数直線を切断すれば、その切り口が無理数である√２になる。
まぁ、こんな感じで覚えてね。

カントールがここから考えたことは、
無理数の定義を有理数の極限として考えていくと、集合（Ｐ）の要素一つ一つから極限を導いた時、
はたしてその極限の極限に終わりはあるのか？ということです。
少し数学っぽく書くと、
集合（Ｐ）の集積点の集合からなる集合を（Ｐ´）とし、またそのまた集積点の集合を（Ｐ´´）としていったとき、
いつか導集合はゼロになるや？
です・・・だと思うぜ・・・俺の理解では・・違っていたら詳しい方分りやすく教えてね。

ペアノ数体系：集合論からなる算術体系のこと
自然数、０，１，２，３、・・を集合論で定義しました。
空集合Φを０、１を｛Φ｝、２を｛Φ、｛Φ｝｝、３を｛Φ、｛Φ｝、｛Φ、｛Φ｝｝｝・・
空集合を要素とする部分集合を重ねていくことで、自然数に公理的な下地を作りました。

このような普通の数は順番に続くので、；順序数；とされます。
それに対して、カントールが定義したのが、：超限数：（以前の超越数と間違えないでね）
有限の世界を超えて無限の世界を思考するときに必要となる、数の定義です。

これで8章まで終わりです。
それから、書いてあることは真に受けないように。文責は負いません。ゴメンナ。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：４

この本で、これ以降出てくる数学者を映画の配役になぞらえると・・・
ゲオルグ・カントール：この本の主役。集合論を武器に人類史上初めて科学的に無限という概念に挑戦した人。
映画「羊たちの沈黙」でいうと、クラリスの役回り。

ワイエルシュトラス：大柄で鷹揚な人物、フェンシングの名手にして解析学の泰斗。カントールの味方。
同じく「羊たちの沈黙」ならクラリスを信頼してくれるＦＢＩの上司

クロネッカー：代数学の大御所。カントールを苛める人。嫌なタイプ。
「羊たち・・」の続編「ハンニバル」では頭を食べられちゃう人みたな役どころ。裕福な実業家の御曹司。

１）数学の２つの流れ
代数学：方程式の解を求める学問。よってどうしても有理数など数えられる；離散的；な対象を研究する。
クロネッカーはこの専門家。悪口を言われますが、反面、大きな実績も残しました。

解析学：関数や距離、無理数など；連続的；なものを対象にする。連続体上で視覚的に考える。
微積分学などに必須の収束（lim→０）という概念はカントールの実無限の考えに近い。
こうして同じ数学の研究者でも思考的に対立しがちになる。

２）無限（限りないもの）にも階層がある。その階層で１番低い無限、小さな無限を、
加算無限：数え切れないけど、ともかく数えられること。１，２，３・・の自然数。
１/３などは少数にすると0.33333・・と無限に続きますが、ともかく1/3として捕まえられる。これが決め手！　
捕まえられる！ならばこの可算出来る無限の仲間になります。

実無限：数えることすら出来ない無限のこと。加算無限より高次の無限です。
それにもランクがあって、
多項式の根になっているもの。；代数的数；といいます。
Ｘ＾２－２＝０　この解（根）は√２。有理数を係数にする多項式の根として「捕まえられます」
カントールはこの集合は、有理数の集合と同じサイズと証明しました。

無理数で限りがなく続く上に、代数による多項式ですら捕まえられない数；超越数；というものもあります。
π、e（自然対数の低）など。
これが１段高い次元の無限とされます。
詳しいことはおいおい。

３）隣の数はない、という不思議。
２つの数、ＡとＢがあったとき、Ａ＞Ｂだとしてもその中間、Ａ－Ｂ/２をＢに足してやると、新しい隣の数Ｂ´が出来てしまい、次にＡからＢ´の中間を・・・とやっていくと無限に隣の数にはたどり着けないということ。

以上、この本の５，６章でした。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：３

実無限と可算無限の始まり。
ガリレオ：ルネサンス期の数学者、振り子の等時性を発見し、
異端審問で「それでも地球は動いている」と発言した人。

彼は始めて可算無限の発見をします。
その前に数えるとは何かと定義します。
○の数を数える時、○を１，○○を２，○○○＝３と数える時、
私達は○の数と数字に１対１の対応をつけてます。これを数えると定義します。

さてガリレオの発見は、「二乗数は整数と同じ数だけある」ということです。
具体的に説明します。
まず二つの集合を作ります。一つを（整数）の集合、もう一つを（整数の２乗数）の集合とします。
集合として比べれば（２乗数の集合）は、（整数の集合）の真部分集合（完全に内部に含まれる集合）です。

（整数の集合）から、その要素の一つである１という数字を取り出します。
１を２乗してもう一つの集合である（２乗数の集合）の要素、１に、集合論でいう１体１対応をします。
１には１、以下、２には、その二乗で４、３なら→９、４→１６、５→２５・・・
数に限りはないので、なんと二つの集合、整数という集合と、その二乗数という集合の対応は、
どこまでも続き、要素は同じになるのです。

「要素無限の集合は、それ自身より小さい（真部分集合）と同等になる」
奇妙ですが、決定的な概念がここに知られることになりました。
でもこれはまだ、数える数は離散的（整数だから飛び離れている）で
数えられる集合、可算無限の集合でした。

ボルツァーノ：「無限の逆説」１８４８年出版。
ボルツァーノは神と時間について考え、永遠とはどちらの方向（未来と過去）にも無限のかなたにまで伸びた時間にほかならない、と考え、これが数えることの出来ない実無限へ扉を開きます。

基本の考えは：
：数の閉区間はどんな数の他の閉区間とも同じ数を含む：

何を言っているのか分からないと思うので、例を挙げます。
：０と１までの間にある全ての数は、０と１００兆までの全ての数と等しい：
繰り返しますが、数える上で等しいとは、１対１の対応が出来る、ということです。

０と１は、０と１００兆までの１００兆分の１の範囲しかありませんが、
もし０と１までの集合の数を、小数点以下０．０００００００００００００１（１００兆分の１に区切れば）
０から１００兆までの自然数には、１対１の対応が出来ます。
０－１００兆の間を０．１単位に区切れば、今度は０－１の範囲を１０００兆分の１に区切り直せば良い。
無限に小数点以下を区切れる訳ですから、
０から１には無限の数が存在し、０から１００兆の間の数に永遠に対応出来、結果、数は等しい、となります。
そしてこれはどこまで細かく区切っても間に数が詰まっている、
のっぺりとした「連続体」実無限の世界へとつながります。

ユークリッド空間内でボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
：有限閉集合内の無限点列は、少なくともひとつの集積点を内部にもつ：
これが誕生したわけです。

ｐｓ
集積点とは、その点のどんな近くにもその点以外の点列が存在する点、のことです。

「無限」に魅入られた天才数学者たち：２

ユダヤ人の離散時代の霊的指導者に、ラビ・アキバがいます。
メルカバー（エゼキエルが幻視した神の御車、これを幻視することはユダヤ神秘主義の大きな潮流）にかんする手引書を多数書き残しましたが、その目的は神の神殿を幻視することでした。

ラビ・アキバは、無限の輝きをもつ神の衣を幻視する瞑想を３人の仲間と行いました。
１人は神の衣の輝きを見つめ肉体の衣を脱ぎ捨て、死にました。
もう一人はそこに２人の神を見て背教者になりました。
もう一人は幻視の中に狂気に陥り無事帰りついたのはラビ・アキバ一人でした。

このような過程をへて神秘主義は発達し、
１１世紀、ガビロールがユダヤ神秘主義と瞑想体系にカバラを名づけました。
カバラとは：受け取られたもの：伝統という意味で、秘密の教えであり、
霊的な知恵を学ぶ為に秘密結社が作られます。

ヘブライ語アルファベットの各文字に数値を当て嵌める、ゲマトリア（数秘術）の研究も始まり、
“テトラグラマトン（神聖４文字）＝ＹＨＶＨ（ヤハウエ）”の瞑想が始まります。

１２８０年カバラ神秘哲学の精髄である「ゾーハル：光輝の書」が発刊。
ゾーハルとは神の無限の光を意味し、古代アラム語で記されます。（イエスが実際に使ったとされる言葉、最近メル・ギブソンの映画「パッション」で使われました）

それから盲人のラビ・イツハクがあまりにも大いなる存在を「エン・ソフ」と呼び始めます。
「エン・ソフ」とは無限なるもの、という意味です。
無限の光を見つめる為には、盲目の男が必要だったのです。

カバラの秘密の園ですが、その園への旅は、帰ることの困難な危険な旅です。
第１段階は、トーラーの外側を意味するPeshat,第２段階は教訓的意味のRemez,第３段階は隠喩的なDerash、
第４段階は深奥の意味であるSod、その頭文字をつなぐとPRDS（パルデス）庭園となります。
４つの段階をへて奥義へといたるカバラ。
この辺を押さえておくと映画や小説を読み解く鍵になることがあるかもしれません。

ヘブライ語のエン・ソフは、アルファベットの最初の文字であるアレフです。
アレフは無限を表わし、神を意味することになりました。

無限の神は、記述することも理解することも出来ない。
これが結論となりました。

「無限」に魅入られた天才数学者たち アミール・Ｄ・アクゼル著

この本は「無限」という極めてスリリングな概念を、自ら創始した集合論を武器に解明しようとした
ゲオルグ・カントール（１８４５年―１９１８年）という天才数学者の逸話を中心にまとめたとてもおもしろい本です。
前回の「寝ながら学べる構造主義」と同様に、何回かにわけてまとめてみましょう。

ギリシャ人が無限という概念を発見したのは、紀元前６－５世紀でした。
無限という概念には、なにかしら人を威圧するところがあり、人の直感による理解を拒絶します。
無限について考えていると、掴みどころがなくて、いつのまにか無限という捕らえどころのない考えに逆に囚われ、取り込まれてしまうような錯覚に陥ります。
（この恐ろしさがいつしか無限を神の象徴としていきます）

１）無限の発見：永遠に書き記すことの出来ない数、無理数の発見から
古代最高の数学者、ピュタゴラス（紀元前５６９－５００）は、数を崇拝する秘教教団を造ります。
そこでは幾何学を構成する整数比から得られる数だけが、論理と真理の為に必要であるとされました。
ピュタゴラス派のシンボルは５角形の中に五亡星を描くものですが、その対角線の比率は黄金比になるのです。

彼らにとって「神は数である」が教義でしたが、数とはすなわち整数とその比（有理数）ということです。
ところがピュタゴラスの定理、Ａ＾２＋Ｂ＾２＝Ｃ＾２（＾は自乗として下さい）
の中にＡ＝Ｂ＝１とすると１＋１＝２となりＣは√２になります。
これは無理数で、整数の比では表わせません。

神の創造物たる整数で表わせない数があった。この発見は教団の根幹をゆるがし
その無理数の存在を外部にもらしたヒュバソスは、溺死させられたともいわれます。

２）カバラ
紀元前１２６０年、モーゼの出エジプトからユダヤ教は初代祭司にモーゼの兄、アロンを任命し、イスラエルの１２支族を表わす１２個の宝石を縫い付け「ウリムとトンミム」という神秘な力をもつ２つの石を納めました。
ユダヤ神秘主義の始まりです。
紀元前５３８年、ユダヤ人がバビロン捕囚から戻るとトーラー（モーゼ５書）の
：隠された意味：を書物として著します。
西暦７０年、エルサレムの第二神殿がローマ人に破壊され、ユダヤ人は離散（デイアスボラ）の時代に入りますが、この苦難の時代にトーラーはさらに研究されます。

さて、そこで見つけられたものは何か…今回は長くなりそう。