薄い230pの文庫本だったし、「はじめての」なんて題名だったしで読み出したのですが難しいです。
思い返すに数学本は文庫ほど読みにくいですね。
これは一般の本と違う数学本の注意事項だと思います。
何故、数学本に限って文庫だと難しい(読み難く)なるのかと思うに、書ける面積の制約から懇切丁寧さが欠けてくるからでしょう。
私レベルだと同じことを何度も何度も噛んで含めるように説明してもらわんと読みきれないないんだよ。
どんどん次に進められると分からなくなっちゃうの。
内容は1)現代数学の構造主義的方法としてガロアの群論
2)集合論:無限の算術
3)トポロジー位相空間幾何学
4)形式論理学:ゲーデル
5)フラクタル、カタストロフィーetc
と、慣れ親しんだものです。
一番解かりやすかったのはトポロジー理論の章で、なんと植木算こそ一次元トポロジー問題であったのだあ!なんてのは目から鱗
著者の瀬山さんの一番のお得意も位相幾何学のようで、今回は何かというとホモっぽいトポロジー理論を少しまとめてみましょう。
位置と繋がりの幾何学がグラフ理論でGと名づける
Gの点を頂点、弧を辺、各頂点に集まる辺の本数を次数といい、偶数本の辺を持つのは偶頂点、奇数本の辺を持つのを奇頂点といい、奇偶性=パリティの発見がグラフ理論の最初でした。
そしてGの奇頂点の個数は偶数になります。
グラフGが一筆書きできるためにはGの奇頂点の個数が0か2個であることが条件です。
オイラー・ポアンカレ定理
Gの頂点数-Gの辺数=x(G):グラフGについて1からGno切断数を引いた数、オイラー標数
ホモロジー理論:高次元図形の位置と切断によるつながり方の幾何学
群構造をなし代数化できます
ホモトピー理論:位置とつながり方の幾何学
空間や図形の中でループを一点に縮めることができるかどうかの幾何学
結び目群という代数構造(ホモトピー群)に対応します。
異球面の発見:エキゾチックな球面
球面上の微分構造(接線や接平面の引かれ方)が違う球面がある
ただし6次元以下の球面には存在せず、7次元では28通りの異球面が存在する
四次元ユークリッド空間には位相的には同値でも微分構造の違うエキゾチックな四次元ユークリッド空間が存在する。
ただし微分構造の違う異空間は四次元以外には存在しない。
ps個人的感想:数学は神の言葉の例証(冷笑)?
人類はπ,eの実質二つしか超越数(有理数を係数とする方程式の解にならない数)をしらないけれど、カントールの集合論の言うところでは、無限にあるはずの実数のほとんどが超越数となっている・・・
無限にあるはずのモノの二つしかまだ我々には分かってないのだ。
数は不思議だ。
宇宙や生命の全てが分からないってのは分かる。
人類の科学力が及ばないのだから。
でも数は人が発明したものだ。
でもこのありさまだ。
だから数学はスリリングでオモシロイ。
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